Är reella tal komplexa tal
Komplexa anförande inom polär form
I detta start avsnittet ifall komplexa anförande stötte oss vid för att oss kunna nedteckna komplexa anförande inom rektangulär struktur, vilket z = a + bi, var a samt b existerar reella anförande samt i existerar den imaginära enheten.
oss äger även sett för att oss är kapabel företräda en komplext anförande inom detta komplexa talplanet likt antingen enbart ett punkt alternativt ett pil likt går ifrån origo mot punkten.
I detta denna plats avsnittet bör oss presentera en annat sätt för att entydigt notera komplexa anförande, nämligen inom polär form.
för att nedteckna komplexa anförande inom polär form eller gestalt utför för att detta blir många enklare för att multiplicera alternativt dividera komplexa tal än ifall oss skulle utföra motsvarande räkneoperationer vid komplexa anförande skrivna inom rektangulär form.
Polär form
Eftersom oss entydigt kunna företräda en komplext anförande, \(z = a + bi\), inom detta komplexa talplanet liksom enstaka punkt alternativt ett pil likt går ifrån origo mot punkten, existerar detta även möjligt för att notera detta komplexa talet utifrån pilens längd mellan origo samt punkten, samt vinkeln mellan pilen samt den reella axelns positiva blad (Re).
Skriver oss detta komplexa talet z vid detta sätt sålunda existerar detta skrivet inom polär form.
För för att behärska notera en komplext anförande z inom polär struktur behöver oss alltså dels pilens längd samt dels vinkeln.
Absolutbeloppet |z|
Pilens längd förmå oss beräkna vid motsvarande sätt såsom oss utför då oss önskar ta reda vid ett vektors längd, detta önskar yttra genom för att oss kalkylerar detta komplexa talets absolutbelopp, |z|.
oss är kapabel forma enstaka rätvinklig triangel utifrån pilens längd mellan origo samt punkten vilket triangelns hypotenusa, samt detta komplexa talets realdel samt imaginärdel likt respektive katet. på det sättet kunna oss beräkna detta komplexa talets absolutbelopp tillsammans hjälp från Pythagoras sats:
$${|z|}^{2}={a}^{2}+{b}^{2}$$
$$|z|=\sqrt{{a}^{2}+{b}^{2}}$$
Har oss mot modell en komplext anförande z = 8 + 6i, därför blir detta tals absolutbelopp
$$|z|=\sqrt{{8}^{2}+{6}^{2}}=\sqrt{64+36}=\sqrt{100}=10$$
Argumentet på grund av z
För för att nedteckna detta komplexa talet z inom polär form eller gestalt behöver oss även uppleva mot vinkeln mellan pilen likt går ifrån origo mot punkten samt den reella axelns positiva blad (Re).
Denna vinkel kallar oss detta komplexa talets argument, alternativt argumentet till z, vilket oss kunna notera likt arg z.
Argumentet till z kunna oss beräkna tillsammans hjälp från dem primär trigonometriska sambanden. angående oss betecknar vinkeln mellan den reella axelns positiva blad tillsammans v, därför kunna oss på grund av komplexa anförande z inom den inledande kvadranten notera sambandet som
$$\tan\,v=\frac{b}{a}$$
där b existerar imaginärdelen samt a existerar realdelen.
Detta ger oss vinkeln
$$v=\arctan\,\left (\frac{b}{a} \right )$$
Har oss mot modell en komplext anförande z = 8 + 6i, därför blir denna vinkel, såsom inom detta fall även utgör argumentet på grund av z, lika med
$$v=\arctan\,\left (\frac{6}{8} \right )\approx{37}^{\circ}$$
Med dem beteckningar oss äger infört förmå oss hitta formulering till Re z = a samt Im z = b liksom enbart beror vid absolutbeloppet |z| samt argumentet till z.
Vi förmå skriva
$$\sin\,v=\frac{b}{|z|}$$
vilket ger oss
$$b=|z|\cdot \sin\,v$$
På motsvarande sätt förmå oss skriva
$$\cos\,v=\frac{a}{|z|}$$
vilket ger oss
$$a=|z|\cdot \cos\,v$$
Sammantaget är kapabel oss alltså notera en komplex anförande z = a + bi som
$$z=|z|\cdot \cos\,v+i\cdot |z|\cdot \sin\,v=$$
$$=|z|\cdot (\cos\,v+i\cdot \sin\,v)$$
vilket existerar z skrivet inom polär form.
Med dem beteckningar oss använder kunna oss titta detta komplexa talet inom detta komplexa talplanet därför här:
Skriv nästa komplexa anförande inom polär form.
$$z=-2+i$$
För för att behärska nedteckna talet inom polär form eller gestalt behöver oss ta reda vid dels absolutbeloppet från z samt dels argumentet till z.
inom nästa figur är kapabel oss titta detta komplexa talets absolutbelopp samt argument:
Absolutbeloppet från z kalkylerar oss som
$$|z|=\sqrt{{a}^{2}+{b}^{2}}=\sqrt{{(-2)}^{2}+{1}^{2}}=\sqrt{5}$$
Argumentet på grund av z blir lite knepigare än tidigare, eftersom vårt komplexa anförande idag ligger inom den andra kvadranten.
Vi förmå forma ett rätvinklig triangel inom den andra kvadranten, på grund av vilken oss äger ett spetsig vinkel
$$u=\arctan\,\left (\frac{|a|}{|b|} \right )=\arctan\,\left ( \frac{2}{1} \right )\approx {63}^{\circ}$$
Argumentet till z blir lika med
$$v=u+{90}^{\circ}\approx{153}^{\circ}$$
Sammantaget är kapabel oss alltså notera talet z inom polär struktur som
$$z=|z|\cdot (\cos\,v+i\cdot \sin\,v)\approx$$
$$\approx\sqrt{5}\cdot (\cos\,{153}^{\circ}+i\cdot \sin\,{153}^{\circ})$$
Skriv nästa komplexa anförande inom rektangulär form.
$$z=3\cdot (\cos\,{240}^{\circ}+i\cdot \sin\,{240}^{\circ}) $$
För för att behärska nedteckna talet z inom rektangulär form eller gestalt behöver oss ta reda vid dels realdelen samt dels imaginärdelen.
Vi börjar tillsammans för att känna igen detta komplexa talets absolutbelopp samt argument:
$$|z|=3$$
$$v={240}^{\circ} $$
Att argumentet existerar 240° innebär för att talet ligger inom den tredjeplats kvadranten inom detta komplexa talplanet.
Därför förmå oss forma ett rätvinklig triangel inom den tredjeplats kvadranten, vars hypotenusa äger längden 3 l.e. samt var vinkeln u mellan den reella axelns negativa sektion är
$$u=v-{180}^{\circ}={240}^{\circ}-{180}^{\circ}={60}^{\circ}$$
enligt figuren nedan.
Nu förmå oss beräkna längden vid triangelns kateter, |a| samt |b|, vilka kommer för att anta positiva värden:
$$\cos\,{60}^{\circ}=\frac{|a|}{|z|}$$
$$|a|=|z|\cdot \cos\,{60}^{\circ}=3\cdot \cos\,{60}^{\circ}=1,5$$
och
$$\sin\,{60}^{\circ}=\frac{|b|}{|z|}$$
$$|b|=|z|\cdot \sin\,{60}^{\circ}=3\cdot \sin\,{60}^{\circ}\approx2,6$$
Eftersom detta komplexa talet z inom vårt modell ligger inom den tredjeplats kvadranten, måste både realdelen samt imaginärdelen existera negativa, därför oss får
$$a=(-1)\cdot |a|=-1,5 \\b=(-1)\cdot |b|\approx-2,6$$
Därför kunna oss alltså notera detta komplexa talet z inom rektangulär form eller gestalt som
$$z\approx-1,5-2,6i $$